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芝诺悖论隐藏的数学危机

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    传说芝诺在五岁的时候,他父亲曾经考他,从他们家到外婆家有五公里路,他以每小时五公里的速度走,需要走多少时间。芝诺答是一个小时,父亲给他了一颗糖吃,因为他答对了。十年后,等他十五岁时,父亲又拿这个问题问他时,他知道这下如果再答是一个小时肯定要挨骂。因为,很显然这回父亲考的再不是他的算术能力。父亲是在考他的判断、分析、思辩等多方面的能力,他需要找出另外一种答案来博得父亲的嘉许。最后,他告诉父亲:他永远也走不到外婆家。父亲想当然地替他回答了原因:因为外婆已经去世,外婆家已经不存在。这事实上也是父亲要的答案。父亲问这个问题的目的就是要儿子打开思路。但年少的芝诺说:不,父亲,你这是偷换概念,不是在用数学说明问题。父亲哈哈大笑说:那你用数学来说明一下。他根本不相信,这还能用数学来解释。芝诺说:我可以把五公里一分为二,然后又把一分为二的五公里再一分为二,这样分下去、分下去,可以分出无穷个“一分为二”,永远也分不完。既然永远分不完,你也就永远走不到。芝诺正是这样创造了他流芳百世的悖论学。

    由于量子的发现,这些悖论已经得到完善的解决。也就是无限细分在量子尺度就无法再细分了。

    但这个只是解决了物理学上的芝诺悖论,而数学上的芝诺悖论却从来就没解决过,相反,它却更加深刻地反映出数学上的危机。 有人说微积分已经解决了它,但微积分只是用一个等号得出了结果,并没解释清楚逻辑上的无限可分是如何收敛的。

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    两分法/芝诺悖论:“一个人从A点走到B点,要先走完路程的1/2,再走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2……”如此循环下去,永远不能到终点。

    从悖论的数学描述中,我们不难看出人抽象成一个点,路程抽象成一条直线。

    先让我们想象一种情形,假如芝诺是一个二维人,也就是生活在在相片中的人,我们拿着芝诺的相片,让他跳高,跳到5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你,他生活在二维世界,没有高度的维度,无法跳出相片,如果能跳出相片,他就变成一个三维人了。

    再让我们想象第二种情形,假如芝诺是一个一维人,也就是生活在直线中的人,我们拿着芝诺的直线,让他横向移动,横行5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你,他生活在一维世界,没有宽度的维度,无法跨出直线,如果能跨出直线,他就变成一个二维人了。

    最后我们想象第三种情形,假如芝诺是一个零维人,也就是一个点,我们拿着芝诺的点,让他向前走,走5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你,他生活在零维世界,没有长度的维度,无法走出点,如果能走出点,他就变成一个一维人了。

    看到这里,你该明白芝诺悖论的根本问题出在哪里了吧?我们把人抽象成一个零维点,却要让一个零维点从A移动到B点产生位移,而位移是一个一维量。在这个数学模型中,零维的人和一维的位移混杂在一起,结果就象是让相片中的人跳出相片一样荒谬。

    一种正确的解法是把人抽象成一个一维的微小线段,线段的长度就是直线最小像素的长度,这样,无限可分的悖论就迎刃而解。无限的原因,其实来自一维和零维之间的维度差就是无穷大。

    虽然有不少主流观点认为数学是以对称美学作为判断标准,不接受实践的考验。很难想象,科学的大厦是建立在一种不接受实践考验的美学基础之上的。数学是对现实世界的抽象简化,如果数学再应用回到现实世界时,而前提假设又不一致,必然会造成这样那样的悖论,轻则误入歧途,重则导致科学大厦的坍塌。

    因此,芝诺悖论是反映了数学的危机,数学来自现实世界的抽象和简化,如果把它当成象牙塔中的“艺术科学”,忘记了最初的前提假设,则会深陷无法自拔的悖论怪圈中。

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